Томографічне визначення параметрів матеріалу за граничними вимірюваннями квазістатичних полів
Автор: Варчак Олександр Юрійович
Кваліфікаційний рівень: магістр (ОНП)
Спеціальність: Телекомунікації та радіотехніка (освітньо-наукова програма)
Інститут: Інститут інформаційно-комунікаційних технологій та електронної інженерії
Форма навчання: денна
Навчальний рік: 2024-2025 н.р.
Мова захисту: українська
Анотація: Робота присвячена дослідженню методів математичного моделювання для електроімпедансної томографії (ЕІТ) — сучасної неінвазивної технології, що дозволяє визначати просторовий розподіл електричних параметрів матеріалу (зокрема, електропровідності) за граничними вимірюваннями квазістатичних полів. Такий підхід знаходить широке застосування в галузях медицини, промислової діагностики, енергетики, біоінженерії та систем неруйнівного контролю. Об’єктом дослідження є неоднорідні електропровідні середовища, а предметом — математичні моделі та чисельні методи розв’язання прямих і обернених граничних задач. Основна мета роботи полягає у побудові ефективної дискретної моделі для задач ЕІТ, яка дозволяє з високою точністю відновлювати електропровідність середовища на основі експериментальних або модельних даних. У перших розділах роботи проведено огляд теоретичних засад електроімпедансної та ємнісної томографії, досліджено фізичні принципи, що лежать в основі методів, і проаналізовано особливості формулювання обернених задач. Побудовано дискретну модель провідного середовища у вигляді резистивної мережі, яка дозволяє здійснити чисельну апроксимацію неперервного розподілу електричних параметрів. Особливу увагу приділено математичному обґрунтуванню задач: доведено коректність постановки, розглянуто граничні умови Діріхле та Неймана, встановлено умови однозначності та стабільності розв’язків. Наведено методи побудови матриці вимірювань і реалізації алгоритмів реконструкції для різних топологій мереж (квадратна, кругова, пірамідальна, прямокутна). У третьому розділі детально розглянуто методику дискретного моделювання оберненої задачі, включаючи формулювання задачі провідності, реалізацію алгоритмів реконструкції, оцінку впливу параметрів середовища, топології електродів і рівня шуму на результати візуалізації. Розроблено програмне забезпечення, яке дозволяє моделювати досліджуване середовище, задавати конфігурацію електродів, розв’язувати як пряму, так і обернену задачу, а також виводити результати у числовій та графічній формі (у вигляді кольорових карт розподілу провідності). Програму протестовано на низці модельних прикладів, що продемонструвало її точність і стійкість. Четвертий розділ присвячено економічному обґрунтуванню запропонованого підходу. Проведено оцінку витрат на виконання науково-дослідної роботи, розраховано економічну ефективність, прогнозований прибуток і доцільність впровадження в реальні системи технічної діагностики. Результати дослідження можуть бути застосовані в медичних діагностичних системах, системах неруйнівного контролю матеріалів, у навчальному процесі з дисциплін математичного моделювання, електромагнетизму та чисельних методів. Робота має як теоретичну, так і практичну значущість. Об’єкт дослідження – неоднорідні провідні середовища. Предмет дослідження – математичні моделі та чисельні методи розв’язання обернених задач електроімпедансної томографії. Мета роботи – розробка та реалізація дискретної моделі реконструкції електропровідності за граничними вимірюваннями. Ключові слова: електроімпедансна томографія, граничні вимірювання, обернена задача, провідність, резистивна мережа, реконструкція параметрів, математичне моделювання. Список літератури: 1. Borcea L. Electrical impedance tomography. Inverse Problems, Vol. 18, 2002, pp. R99–R136. 2. Curtis E.B., Morrow J.A. Determining the resistors in a network. SIAM J. Appl. Math., Vol. 50, 1990, pp. 918–930. 3. Borcea L., Druskin V., Mamonov A.V., Guevara Vasquez F. Pyramidal resistor networks for electrical impedance tomography with partial boundary measurements. Inverse Problems, Vol. 26, No. 10, 2010, pp. 105009. 4. Curtis E.B., Ingerman D., Morrow J.A. Circular planar graphs and resistor networks. Linear Algebra and its Applications, Vol. 283, 1998, pp. 115– 150. 5. Calderon A.P. On an inverse boundary value problem. Seminar on Numerical Analysis and its Applications to Continuum Physics, Rio de Janeiro, 1980, pp. 65–73. 6. Sylvester J., Uhlmann G. A global uniqueness theorem for an inverse boundary value problem. Annals of Mathematics, Vol. 125, 1987, pp. 153– 169. 7. Назарчук З. Т., Куриляк Д. Б., Михаськів В. В., Синявський А. Т., Чекурін В. Ф. Технічна діагностика матеріалів і конструкцій: довідн. посібник у 8-ми томах. Том 2. — Львів: Простір-М, 2018.